发布于：2007/5/29 8:51:37 | 2623 次阅读
Effects of Gridding Length on FDTD Calculation
Li Jun, Wu Zhenbo, Wu Zhe
(Beijing University of Aeronautics & Astronautics, Beijing 100083)
Abstract:An improved FDTD method is presented in the paper based on the physics characteristic of plane wave propagation. Spatial increments can not be fixed and should vary with the change of the angle of incidence, which can ensure that numerical wave front is perpendicular to the direction of incidence. The effects of the improved method on numerical dispersion are studied and comparisons are made to the conventional FDTD method. The simulation results of plane wave in three-dimensional Yee mesh show the convergence performance is increased and the new method has less influence on the calculation errors of farfield scattering.
Key words:FDTD method，Gridding length，Numerical dispersion，Farfield scattering
1 引言
时域有限差分方法是一种求解电磁问题的数值技术［1～3］。在对FDTD算法的误差研究中，其来源于以下几个方面：差分误差，如采用不同的差分格式时，4阶差分式要比2阶差分式高［4］；截断边界造成的反射误差［5］；相速变慢导致的数值色散误差［6］；模拟散射体曲面时，网格划分造成的阶梯状表面产生的误差［3］；相位分辨率对远场积分造成的误差［2］；加载波源引起的误差；数值运算带来的截断误差等。
但是，上述讨论通常是基于传统FDTD方法在Δx=Δy=Δz情况下进行的，并且网格长度如何划分与入射方向无关。本文则认为当入射方向发生变化时，网格划分应随之变化，其三维长度之间的比例关系亦是影响数值色散误差的一个重要因素。
2 网格长度与入射方向的关系
在三维空间内定义单位体积1m3内网格单元的数目为网格密度（无量纲）：
ρ=(ΔxΔyΔz)-1(1)
在网格密度一致的前提下，设改进方法的网格长度为Δx′，Δy′,Δz′。网格长度与入射方向之间的比例式是基于平面波传播的物理特征推导出来的，它从几何关系上保证了各场点均分布在与入射方向相垂直的波前上。为简单起见首先从二维TE问题入手，网格划分及电场、磁场布置方式如图1所示。单位入射矢量为ri=(rix,riy)。图1(a)中相互平行的斜线均与矢量ri垂直，斜线分两类：虚线表示电场波前所在位置，实线表示磁场波前所在位置。
假设均匀平面波在二维空间内的传播是理想的。计算开始时，电场、磁场各分量的初值均为零。
迭代开始后的个时间步，波推进到n=1标记的斜线处，位于此斜线上的电场开始有值，半个时间步后，波推进到n=1.5标记的斜线处，位于此斜线上的磁场开始有值。依次类推，电磁场逐渐布满整个总场区。在图1(b)中，d表示两个相邻电场波前之间的距离。为保证入射方向与波前（即网格对角线）垂直，则网格长度Δx′,Δy′应满足如下关系：
取是考虑到入射矢量的分量有正负的变化，从而有比例关系：
比例关系式导出后，如何确定网格的三维长度呢？由网格密度一致有：
改进方法时间步长Δt的选取同传统方法一样，必须满足数值稳定条件：
其中Δt0为临界稳定值。
3 时间步长比与数值色散的关系
首先定义时间步长比为：
下面将研究p与数值色散的关系，从而确定Δt的取值范围。
在三维网格中，关于计算网格空间波数kp的超越方程为：
式中k0是自由空间的波数。通过U的变化可以了解数值色散误差的情况，该比值越接近于1，则数值色散误差越小。
于改进方法和传统方法，均由（8）~（10）式得到其p-U曲线，p从60%到99%以1%的增幅变化，见图2。本文同时还计算了传统方法网格长度为两种情况。
由图2可见, 传统方法随着网格尺度的细化，数值色散误差也随之减小；而且p越大，数值色散误差越小。所以，在选择Δt时，越接近临界值Δt0，即p越接近于1对计算越有利。更重要的一点是，当传统方法网格尺度为λ/30时，改进方法的网格密度较之小很多，但是当p>95%时，数值色散误差反而小。这表明：单纯细化网格尺度仅是降低数值色散误差的一个方面，而网格长度之比是否符合（4）式则是决定色散程度的另一关键因素。
4 收敛性及散射背景误差研究
本小节分别用传统FDTD方法和改进方法计算了平面波在三维网格中的传播，目的是研究二者对收敛性和RCS计算的影响。将计算空间分为总场区和散射场区，总场区内无散射体。网格空间大小为26×26×26，即i,j,k=0,1,…,25；连接边界的顶点为(20,20,20)，最小顶点为(5,5,5)；在散射场区设置对远场积分的等效边界，其顶点(22,22,22)，最小顶点(3,3,3)，采用Love［7］场等效原理计算远场散射值。由于无散射体，故这时的RCS值类似于测试实验中未放试件时测得的背景噪声。截断边界上采用二阶Mur条件。连接边界上所加的简谐波频率f=9.375GHz，水平极化。在网格密度一致的前提下，入射方向以及传统方法和改进方法的网格尺度同上一小节。
在此首先给出收敛指数的定义，它表明了计算的收敛状态。对于某一维场量的所有场点Ex(i,j,k)，假定共有m个，简记为Ex1,Ex2,…,…,Exm。在第T1周期内通过比较各迭代步的场值搜索出这些场点的峰值（即的值），构成m维Euclid空间中的一点：
对两种方法分别取p为86.6%、90%、95%、99%四种情况进行了对比，其中，传统方法p=86.6%时的情况相当于通常意义上取Δt=Δs/(2c0)。图3给出了收敛指数随周期的变化情况，横轴为周期数，纵轴为收敛指数S。对于传统方法当T>30时，无论时间比p为何值，曲线都是收敛的。此后随着迭代的继续，p=95%，99%时的收敛曲线都将出现发散现象，并且p越大，发散越严重。因此，在应用传统FDTD方法时，对于达到稳态需要30个周期以上的算例，在满足数值稳定条件的情况下需要兼顾数值色散误差和收敛稳定性这两个重要因素，权衡利弊、慎重选择时间步长Δt。相反，改进方法便没有这样的顾虑，无论时间比p为何值，曲线在160个周期内都将是收敛的，因此改进方法在减小数值色散误差的同时大大提高了迭代计算的收敛稳定性。
图4和图5分别给出了p=86.6%、p=90%时，由两种方法计算得到的背景噪声曲线。图中横轴为周期数，纵轴为单站散射值。改进方法的背景噪声大大低于传统方法，降低幅度达6dB左右，表明在散射场区泄漏波的强度受到了明显抑制。对于其它入射角度的计算显示，改进方法的背景噪声甚至比传统方法平均降低15dB。
5 结束语
上述研究表明：改进方法与传统方法相比，在抑制数值色散误差、改善迭代计算的收敛稳定性、提高RCS计算等方面均显示出了相当大的优势。这是与其所依据的物理意义分不开的，即通过式（4）比例关系来调整网格长度，使场点在空间布置上符合平面波传播的物理特征。
但是，改进方法是受一定条件制约的，当入射矢量各分量相差不大时，它是可行的。否则，将导致网格三维长度的大小过于悬殊，这是不现实的。另外，当入射矢量的各分量出现一维为0的情况时，其它两维仍要满足式（4），为0的一维则需要另行补充条件，而且在网格密度一致的前提下随着该维长度的变化将出现多种退化形式。这时需要依据数值色散误差（即p-U曲线）来确定退化形式。当入射矢量的各分量出现两维为0的情况时，则改进方法失去意义。
研究散射问题时，复杂目标的散射波是多方向的，而网格长度划分只以入射方向为准，势必将导致其它方向散射波的色散误差增大，这是本方法所无法克服的（传统方法本身也存在这一问题）。背景噪声的减小与之相比孰轻孰重，有待进一步研究。
参考文献
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〔3〕高本庆. 时域有限差分法（FDTD Method），北京：国防工业出版社，1995
〔4〕居继龙. 对时域有限差分（FDTD）法误差的分析，北京广播学院学报，1994.4：37～40
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〔7〕吴万春. 电磁场理论. 北京：电子工业出版社，1985
TME-TransferMultisortElektronikSp.zo.o. 深圳特美意电子贸易有限公司 是波兰TransferMultisortElektronikSp.zo.o.公司在中国设立的子公司。 2018年在深圳成立，是TME公司在亚洲的第一个子公司，主要负责TME在中国大陆、中国香港和中国台湾市场的业务及市场拓展。 TME波兰总公司始创于1989年 初是两兄弟开设的电
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